בגרות קיץ 2024 מועד ב׳ – פירמידה ריבועית, זווית ומישור הבסיסוקטורים 572 · שיעור 45
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע. הנקודה E היא מפגש אלכסוני הבסיס, והנקודה F היא אמצע המקצוע BC. נסמן: SE = u , SF = v , SB = w.
א. הביעו באמצעות u , v , w את הווקטורים BC ו־DC.
הקטע SE הוא גובה הפירמידה. נתון: |u| = 7.
ב. מצאו את הערך של u · w.
נתון: BA = (−3 , 4 , 5).
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו את גודל הזווית שבין SB ובין בסיס הפירמידה.
נתון: E(0 , 4 , 5). מישור הבסיס ABCD מקביל לציר ה־z.
ד. מצאו את משוואת המישור שעליו מונח בסיס הפירמידה.
נתון: שיעור ה־x של הקודקוד B הוא 3.
ה. מצאו את שיעורי הקודקוד B.
סעיף א – הווקטורים BC ו־DC
F אמצע BC, ולכן BC = 2BF:
📐 חיבור וקטורים
BF = SF − SB
נציב SF = v , SB = w:
BF = v − w
BC = 2BF
נציב BF = v − w:
📐 חיבור וקטורים
XY = SY − SX
סעיף א – הווקטורים BC ו־DC · המשך
נציב BF = v − w:
BC = 2(v − w) = 2v − 2w
בריבוע, הקטע EF (ממרכז הריבוע לאמצע הצלע BC) מקביל ל־DC, באותו כיוון, ושווה לחצי ממנו:
EF = SF − SE
נציב SF = v , SE = u:
EF = v − u
סעיף א – הווקטורים BC ו־DC · המשך
EF = v − u
DC = 2EF
נציב EF = v − u:
DC = 2(v − u) = 2v − 2u
✅ פתרון סופי: BC = 2v − 2w , DC = 2v − 2u
סעיף ב – המכפלה u · w
w = SB = SE + EB
נציב SE = u:
w = u + EB
נציב w = u + EB במכפלה הסקלרית:
u · w = u · (u + EB) = u · u + u · EB
SE גובה – מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־EB שבבסיס:
📐 מכפלה סקלרית
📐 מכפלה סקלרית
a · a = |a|2
וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
סעיף ב – המכפלה u · w · המשך
SE גובה – מאונך לבסיס, ולכן מאונך ל־EB שבבסיס:
📐 מכפלה סקלרית
u · EB = 0
u · w = u · u + u · EB
נציב u · u = |u|2 = 72 , u · EB = 0:
u · w = 72 + 0 = 49
✅ פתרון סופי: u · w = 49
📐 מכפלה סקלרית
a · a = |a|2
וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
וקטורים מאונכים: המכפלה = 0
סעיף ג – הזווית בין SB לבסיס
|BA| = √x2 + y2 + z2
📐 אורך וקטור
נציב BA = (−3 , 4 , 5):
|BA| = √(−3)2 + 42 + 52
|BA| = √9 + 16 + 25 = √50
|BA| = 5√2
צלע הריבוע 5√2, ולכן האלכסון 5√2 · √2 = 10 ו־EB = 5 (חצי אלכסון).
📐 אורך וקטור
|u| = √x2 + y2 + z2
סעיף ג – הזווית בין SB לבסיס · המשך
צלע הריבוע 5√2, ולכן האלכסון 5√2 · √2 = 10 ו־EB = 5 (חצי אלכסון).
ההיטל של SB על הבסיס הוא EB, ולכן הזווית המבוקשת היא ∢SBE. במשולש ישר הזווית SEB:
tan(∢SBE) = SEEB
📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זווית
נציב SE = |u| = 7 , EB = 5:
tan(∢SBE) = 75 = 1.4
∢SBE ≈ 54.46
📐 טריגונומטרייה במשולש ישר זווית
tan = נגדי חלקי ליד
סעיף ג – הזווית בין SB לבסיס · המשך
∢SBE ≈ 54.46
✅ פתרון סופי: ∢SBE ≈ 54.46 מעלות
סעיף ד – משוואת מישור הבסיס
המישור מקביל לציר ה־z, ולכן הנורמל שלו מאונך לכיוון (0 , 0 , 1): נורמל מהצורה n = (a , b , 0).
המישור מכיל את הכיוון BA = (−3 , 4 , 5):
📐 מכפלה סקלרית
n · BA = 0
נציב n = (a , b , 0) , BA = (−3 , 4 , 5):
(a , b , 0) · (−3 , 4 , 5) = 0
−3a + 4b = 0
📐 מכפלה סקלרית
(a1, a2, a3) · (b1, b2, b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3
וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
וקטורים מאונכים ⇐ המכפלה = 0
סעיף ד – משוואת מישור הבסיס · המשך
−3a + 4b = 0
נבחר a = 4 , b = 3 (מספרים שלמים שמקיימים את המשוואה):
n = (4 , 3 , 0)
Ax + By + Cz + D = 0
📐 משוואת מישור
נציב (A , B , C) = (4 , 3 , 0):
4x + 3y + 0z + D = 0
📐 משוואת מישור
Ax + By + Cz + D = 0
סעיף ד – משוואת מישור הבסיס · המשך
4x + 3y + 0z + D = 0
4x + 3y + D = 0
המישור עובר דרך E:
4x + 3y + D = 0
נציב E(0 , 4 , 5):
4 · 0 + 3 · 4 + D = 0
סעיף ד – משוואת מישור הבסיס · המשך
4 · 0 + 3 · 4 + D = 0
0 + 12 + D = 0 ⇒ D = −12
4x + 3y − 12 = 0
✅ פתרון סופי: 4x + 3y − 12 = 0
סעיף ה – שיעורי B
B(3 , y , z) נמצאת במישור הבסיס:
4x + 3y − 12 = 0
נציב x = 3:
4 · 3 + 3y − 12 = 0
3y = 0 ⇒ y = 0
לפי סעיף ג, EB = 5:
סעיף ה – שיעורי B · המשך
לפי סעיף ג, EB = 5:
EB = √(xB − xE)2 + (yB − yE)2 + (zB − zE)2
📐 מרחק בין שתי נקודות
נציב B(3 , 0 , z) , E(0 , 4 , 5):
EB = √(3 − 0)2 + (0 − 4)2 + (z − 5)2
EB = √9 + 16 + (z − 5)2 = 5
נעלה בריבוע:
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
סעיף ה – שיעורי B · המשך
נעלה בריבוע:
9 + 16 + (z − 5)2 = 25
(z − 5)2 = 0 ⇒ z = 5
בדיקה: הזווית בין האלכסון BE = (−3 , 4 , 0) לצלע BA: cos = 9 + 165 · 5√2 = 1√2 – 45 מעלות, כמו בריבוע ✓
✅ פתרון סופי: B(3 , 0 , 5)
📌 סיכום התשובות
סעיף א
BC = 2v − 2w
DC = 2v − 2u
DC = 2v − 2u
סעיף ב
49
סעיף ג
≈ 54.46 מעלות
סעיף ד
4x + 3y − 12 = 0
סעיף ה
B(3 , 0 , 5)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא